Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут прикладної математики і фундаментальних наук
Кафедра прикладної математики
Розрахункова робота
з теорії керування на тему:
“Дослідження функціонування нелінійних систем”
Завдання 1
Дослідити автоколивання в системі , яка задана списком:
,
(1.1)
де — суматор, — нелінійний елемент, та — лінійні підсистеми, які задані списками та :
,
(1.2)
де , ;, ,
,
(1.3)
де , , ; , , .
Нелінійність за да на у списку нелінійностей під номером 19, причому, , , .
/
Розв’язання
Опис лінійної частини в цілому.
Структурну схему системи , яку задано списком (1.1), зображено на рис. 1.
/
Риc. 1 Структурна схема системи
Побудуємо структурні схеми підсистем (рис. 2) та (рис. 3), які задані списками (1.2) та (1.3):
/
Рис. 2 Структурна схема підсистеми
Рис. 3 Структурна схема підсистеми
Передавальні функції підсистем та мають такий вигляд:
(1.4)
.
(1.5)
Система складається з лінійної частини (її передавальну функцію позначимо через ) та нелінійної частини, яка описується функцією . З рис. 1 видно, що передавальна функція лінійної частини є добутком передавальних функцій підсистем та :
.
(1.6)
Тоді, врахувавши що та зробивши обернене лапласове пе ре тво рен ня, отримуємо таке диференціальне рівняння лінійної частини:
,
(1.7)
де — диференціальний оператор ().
Опис системи в цілому.
Враховуючи, що (це видно із рис. 1), запишемо рівняння системи в ці ло му:
.
(1.8)
Лінеаризація нелінійності.
Згідно з методом гармонічної лінеа ри зації, лінеаризовану неліній ність можна пред ста ви ти так:
,
де . Оскільки нелінійність од но значна та непарно си мет рич на, то
,
.
У випадку (див. рис. 4) коефіцієнт є та ким:
.
Окільки задано, що , то лінеари зо вана не лі ній ність набуває такого виг ляду:
.
4. Опис лінеаризованої системи в цілому:
.
(1.9)
5. Характеристичне рівняння системи:
.
(1.10)
6. Визначення параметрів періодичного розв’язку.
Підставивши в це характеристичне рівняння значення , яке відповідає періо дич но му розв’язку, отримуємо таке рівняння:
.
Відокремивши дійсну та уявну частини цього рівняння, отримуємо систему двох рівнянь для невідомих та :
,
(1.11)
.
(1.12)
З рівняння (1.12) знаходимо частоту автоколивань: та підставляємо її у рівняння (1.11), з якого знаходимо: . Амплі туду автоколивань мож на знай ти гра фіч но (див. рис. 7). Для цьо го будуємо графік функції (яка бу ла знайдена нами при лі не аризації не лі ній нос ті) та пряму (штрихова го ри зон тальна лі нія), абсцисою точки пере ти ну цих ліній є шукана амплітуда . Як бачимо графік і не перетинаються.
Отже в системі немає автоколивань.
7. Відповідь.
В системі відсутні автоколивання.
Завдання 2
Оцінити стійкість тривіального розв’язку системи:
.
(2.1)
Розв’язання
Передбачувана функція Ляпунова з неозначеними коефіцієнтами:
.
(2.2)
Визначення коефіцієнтів та так, щоб виконувалась умова:
.
(2.3)
Для того, щоб виконувалась умова (2.3) необхідно щоб коефіцієнти та за до вольня ли таким умовам:
Нехай , тоді і функція є такою:
.
(2.4)
Перевірка виконання інших умов:
— функція лише координат системи та ,
, якщо ,
функція є знаковизначеною (додатна), тобто , якщо та .
функція є неперервною по своїх аргументах та має неперервні перші час тин ні похідні.
Відповідь.
Тривіальний розв’язок системи (2.1) асимптотично стійкий, функція (2.4) є функцією Ляпунов
